Все теоремы и уравнения статики выво-дятся из нескольких исходных положений, принимаемых без матема-тических доказательств и называемых аксиомами или принципами статики. Аксиомы статики представляют собою результат обобщений многочисленных опытов и наблюдений над равновесием и движением тел, неоднократно подтвержденных практикой. Часть из этих аксиом является следствиями основных законов механики, с которыми мы познакомимся в динамике.
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F 1 = F 2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 10).
Рис.10
Аксиома 1 определяет простейшую уравновешенную систему сил, так как опыт показывает, что свободное тело, на которое действует только одна сила, находиться в равнове-сии не может.
Аксиома 2. Действие данной си-стемы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.
Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравнове-шенную систему, эквивалентны друг другу.
Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсо-лютно твердое тело не изменится, если перенести точку при-ложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.
Рис.11
В самом деле, пусть на твердое тело действует приложенная в точке А сила (рис.11). Возьмем на линии действия этой силы произвольную точку В и приложим к ней две уравновешенные силы и , такие, что = , = . От этого действие силы на тело не изменится. Но силы и со-гласно аксиоме 1 также образуют уравновешенную систему, которая может быть отброшена. В резуль-тате на тело. Будет действовать только одна сила , равная , но приложен-ная в точке В .
Таким образом, вектор, изобра-жающий силу , можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).
Аксиома 3 (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю па-раллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах.
Вектор , равный диагонали параллелограмма, построенного на векторах и (рис.12), называется геометрической суммой векторов и : = + .
Рис.12
Величина равнодействующей
|
Конечно, Такое равен-ство будет соблюдаться только при условии, что эти силы направлены по одной пря-мой в одну сторону. Если же векторы сил окажутся перпендикулярными, то
Следовательно, аксиому 3 можно еще формулировать так: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействую-щую, равную геометрической (векторной) сумме этих сил и прило-женную в той же точке.
Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но проти-воположное по направлению противодействие.
Закон о равенстве действия и противодей-ствия является одним из основных законов ме-ханики. Из него следует, что если тело А дей-ствует на тело В с силой , то одновременно тело В действует на тело А с такой же по модулю и направленной вдоль той же прямой, но противоположную сторону силой = (рис. 13). Однако силы и не образуют урав-новешенной системы сил, так как они приложены к разным телам.
Рис.13
Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие изме-няемого (деформируемого) тела, находящегося под действием дан-ной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).
Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сва-ренными друг с другом и т. д.
Связи и их реакции.
По определению, тело, которое не скреплено с другими телами и может совершать из данного положе-ния любые перемещения в пространстве, называется свободным (например, воздушный шар в воздухе). Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела, называется несвободным . Все то, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве, будем называть связью.
Например, тело лежащее на столе - несвободное тело. Связью его является плоскость стола, которая препятствует перемещению тела вниз.
Очень важен так называемый принцип освобождаемости , которым будем пользоваться в дальнейшем. Записывается он так.
Любое несвободное тело можно сделать свободным, если связи убрать, а действие их на тело заменить силами, такими, чтобы тело оставалось в равновесии.
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи.
Так у тела, лежащего на столе, связь - стол. Тело несвободное. Сделаем его свободным - стол уберем, а чтобы тело осталось в равнове-сии, заменим стол силой, направленной вверх и равной, конечно, весу тела.
Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Когда связь одновременно препятствует перемещениям тела по нескольким направлениям, направление реакции связи также наперед неизвестно и должно определяться в результате решения рассматриваемой задачи.
Рассмотрим, как направлены реакции некоторых основных видов связей .
1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела можно в первом приближении пренебречь. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпен-дикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 14,а ). Поэтому реакция N гладкой поверхности или опоры направлена по общей нормали к поверхностям сопри-касающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис. 14,б ), то реакция направлена по нормали к другой поверх-ности.
Если поверхности не гладкие, надо добавить еще одну силу - силу трения , которая направлена перпендикулярно нормальной реакции в сторону, противоположную возможному скольжению тела.
Рис.14 Рис.15
Рис.16
2. Нить. Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити (рис.15), не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM . Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса. Если даже заранее можно догадаться, что реакция направлена к телу, все равно ее надо направить от тела. Таково правило. Оно избавляет от лишних и ненужных предположений и, как убедимся далее, помогает установить сжат стержень или растянут.
3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром; осевая линия болта называется осью шарнира. Тело АВ , прикреплен-ное шарниром к опоре D (рис.16,а ), может поворачиваться как угодно вокруг оси шарнира (в плоскости чертежа); при этом конец А тела не может переместиться ни по какому направлению, перпен-дикулярному к оси шарнира. Поэтому реакция R цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпен-дикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости А ху. Для силы R в этом случае наперед не известны ни ее модуль R , ни направле-ние (угол ).
4. Шаровой шарнир и подпятник. Этот вид связи закреп-ляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. При-мерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фото-аппарат к штативу (рис.16,б ) и подшипник с упором (подпятник) (рис. 16,в ). Реакция R шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее наперед неизвестны ни модуль реакции R , ни углы, образуемые ею с осями х, у, z .
Рис.17
5. Стержень. Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень АВ , закрепленный на концах шарнирами (рис.17). Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пре-небречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы при-ложенные в шарнирах А и В . Но если стержень АВ находится в равновесии, то по аксиоме 1 приложенные в точках А и В силы должны быть направлены вдоль одной прямой, т. е. вдоль оси стержня. Следовательно, нагруженный на концах стержень, весом ко-торого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция стержня будет направлена вдоль оси стержня.
6. Подвижная шарнирная опора (рис.18, опора А ) препятствует движению тела только в направ-лении перпендикулярном плоскости скольжения опоры. Реакция такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры.
7. Неподвижная шарнирная опора (рис.18, опора В ). Реакциятакой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задач будем реакцию изображать ее составляющими и по направлениям осей координат. Если мы, решив задачу, найдем и , то тем самым будет определена и реакция ; по модулю
Рис.18
Способ закрепления, показанный на рис.18, употребляется для того, чтобы в балке АВ не возникало дополнительных напряжений при изменении ее длины от изменения температуры или от изгиба.
Заметим, что если опору А балки (рис.18) сделать тоже непо-движной, то балка при действии на нее любой плоской системы сил будет статически неопределимой, так как тогда в три уравнения равновесия вой-дут четыре неизвестные реакции , , , .
8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка (рис.19). В этом случае на заделанный конец балки со стороны опорных плоско-стей действует система распределенных сил реакций. Считая эти силы приведен-ными к центру А
Иногда приходится исследовать равновесие нетвердых тел. При этом будем пользоваться предположением, что если это нетвердое тело находится в равновесии под действием сил, то его можно рассматривать как твердое тело, используя все правила и методы статики.
Настоящее издание поможет систематизировать полученные ранее знания, а также подготовиться к экзамену или зачету и успешно их сдать.
* * *
компанией ЛитРес .
2. Связи и реакции связей
Все тела делятся на свободные и связанные .
Свободные тела – это тела, перемещение которых не ограничено.
Связанные тела – это тела, перемещение которых ограничено другими телами.
Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями .
Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей . Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.
Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).
Связи делятся на несколько типов.
Связь – гладкая опора (без трения) – реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре.
Гибкая связь (нить, веревка, трос, цепь) – груз подвешен на двух нитях. Реакция нити направлена вдоль нити от тела, при этом нить может быть только растянута.
Жесткий стержень – стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.
Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент.
Шарнирная опора. Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.
Подвижный шарнир. Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки). Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, так как не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.
Неподвижный шарнир. Точка крепления перемещаться не может.
Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее изображают в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной (R x , R y ).
Защемление, или «заделка». Любые перемещения точки крепления невозможны.
Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент М z , препятствующий повороту.
Реактивная сила представляется в виде двух составляющих вдоль осей координат:
R = R x + R y .
* * *
Приведённый ознакомительный фрагмент книги Техническая механика. Шпаргалка (Аурика Луковкина, 2009) предоставлен нашим книжным партнёром -
1. Гладкая (без трения) плоскость или поверхность. Такие связи препятствуют перемещениям тела только в направлении общей нормали в точке касания, вдоль которой и будет направлена соответствующая реакция. Поэтому реакция гладкой плоской опоры перпендикулярна этой опоре (реакция на рис. 12,а); реакция гладкой стенки перпендикулярна этой стенке рис. 12, б); реакция гладкой поверхности направлена по нормали к этой поверхности, проведенной в точке касания на рис. 12, в).
2. Острый выступ. В этом случае можно считать, что опирается сам выступ, а опорой служит рассматриваемое тело. Это приводит к случаю 1 и выводу, что реакция гладкого выступа направлена по нормали к поверхности опирающегося тела (сила на рис. 12, в).
3. Гибкая связь (невесомые нить, трос, цепь и т.п.). Соответствующая реакция направлена вдоль связи от точки крепления нити к точке подвеса (сила на рис. 11,г, сила на рис. 12, б).
4. Невесомый прямолинейный стержень с шарнирами на концах. Реакция направлена вдоль стержня. Поскольку стержень может быть как сжат, так и растянут, реакция может иметь направление как к точке подвеса стержня, так и от точки подвеса (реакции и на рис. 13, а).
5. Невесомый коленчатый или криволинейный стержень. Реакция направлена вдоль прямой, проходящей через центры концевых шарниров (сила 53 на рис. 13, а; сила S на рис. 13, б).
6. Подвижная шарнирная опора. Реакция направлена перпендикулярно плоскости опоры (плоскости катания) (рис. 14, а, б).
7. Цилиндрический шарнир (рис. 15, а), радиальный подшипник (рис. 15, б). Реакция проходит через центр шарнира (центр срединного сечения подшипника) и лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира (подшипника).
Она эквивалентна двум неизвестным по модулю силам - составляющим этой реакции вдоль соответствующих координатных осей (силы на рис. 15,а; и на рис. 15, б). (Разъяснения по этому поводу см. также в примере на стр. 16).
8. Сферический шарнир (рис. 16, а), подпятник (или радиально-упорный подшипник) (рис. 16, б). Реакция состоит из трех неизвестных по модулю сил - составляющих реакции вдоль осей пространственной системы координат.
9. Жесткая заделка (рис. 17). При действии на тело плоской системы сил полная реакция заделки складывается из силы с составляющими ХА и УА, и пары сил с моментом М, расположенных в той же плоскости, что и действующие силы.
10. Скользящая заделка (рис. 18). В случае плоской системы сил и отсутствия трения реакция состоит из силы N и пары сил с моментом М, расположенных в одной плоскости с действующими силами. Сила N перпендикулярна к направлению скольжения.
Вопросы для самопроверки
1. Что называется абсолютно твердым телом, материальной точкой?
2. Укажите элементы силы. Какими способами можно задать силу?
3. Что называется векторным моментом силы относительно точки Что такое алгебраический момент силы?
4. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?
5. Что называется системой сил? Какие системы сил называются эквивалентными?
6. Что называется равнодействующей системы сил?
7. Дайте определение несвободного твердого тела, связи, реакции связи?
8. Можно ли несвободное тело рассматривать как свободное?
9. На какие две группы делятся силы, действующие на несвободное твердое тело?
Связи и их реакции Свободное тело – это тело, которое может совершать из данного положения любые перемещения в пространстве. Несвободное тело – тело, перемещению которого в пространстве препятствуют какиенибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся с ним тела. Связь – это все, что ограничивает перемещения данного тела в пространстве.
Силой давления на связь называется сила, действующая на тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь. Одновременно, по закону о равенстве действия и противодействия связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. Силой реакции связи или просто реакцией связи называется сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям. Направлена реакция связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
Направление реакции связи основных взаимодействий: Сферическ ий шарнир и подпятник Гладкая плоскость или опора Невесомый стержень Цилиндрически й шарнир (подшипник) Нить
Направление реакции связи основных взаимодействий: 1. Гладкая плоскость или опора. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра к поверхности соприкасающихся тех в точке их касания.
Направление реакции связи основных взаимодействий: Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой, то реакция направлена по нормали к другой поверхности.
Направление реакции связи основных взаимодействий: 2. Нить. Связь осуществляется в виде гибкой нерастяжимой нити. Она не дает удаляться телу от точки подвеса нити (.)А. Реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити к точке подвеса.
Направление реакции связи основных взаимодействий: 3. Цилиндрический шарнир (подшипник) осуществляет такое соединение двух тел, при котором одно тело может вращаться по отношению к другому вокруг общей оси, называемой осью шарнира. Если тело АВ прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре D, то (.)А тела не может при этом переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному оси шарнира.
Направление реакции связи основных взаимодействий: 4. Сферический шарнир и подпятник. Тела, соединенные шарниром, могут как угодно поворачиваться одно относительно другого вокруг центра шарнира. Если тело прикреплено с помощью такого шарнира к неподвижной опоре, то (.)А тела не может при этом совершать никакого перемещения в пространстве.
Связи и реакции связей
Все законы и теоремы статики справедливы для свободного твердого тела.
Все тела делятся на свободные и связанные.
Свободные тела - тела, перемещение которых не ограничено.
Связанные тела - тела, перемещение которых ограничено другими телами.
Тела, ограничивающие перемещение других тел, называют связями.
Силы, действующие от связей и препятствующие перемещению, называют реакциями связей.
Реакция связи всегда направлена с той стороны, куда нельзя перемещаться.
Всякое связанное тело можно представить свободным, если связи заменить их реакциями (принцип освобождения от связей).
Все связи можно разделить на несколько типов.
Связь - гладкая опора (без трения)
Рисунок 1
Реакция опоры приложена в точке опоры и всегда направлена перпендикулярно опоре (рис. 1).
Гибкая связь
(нить, веревка, трос, цепь) Груз подвешен на двух нитях (рис. 2).
Рисунок 2
Жесткий стержень
На схемах стержни изображают толстой сплошной линией (рис. 3).
Рисунок 3
Стержень может быть сжат или растянут. Реакция стержня направлена вдоль стержня. Стержень работает на растяжение или сжатие. Точное направление реакции определяют, мысленно убрав стержень и рассмотрев возможные перемещения тела без этой связи.
Возможным перемещением точки называется такое бесконечно малое мысленное перемещение, которое допускается в данный момент наложенными на него связями.
Убираем стержень 1, в этом случае стержень 2 падает вниз. Следовательно, сила от стержня 1 (реакция) направлена вверх. Убираем стержень 2. В этом случае точка А опускается вниз, отодвигаясь от стены. Следовательно, реакция стержня 2 направлена к стене.
Шарнирная опора
Шарнир допускает поворот вокруг точки закрепления. Различают два вида шарниров.
Подвижный шарнир
Стержень, закрепленный на шарнире, может поворачиваться вокруг шарнира, а точка крепления может перемещаться вдоль направляющей (площадки) (рис. 4).
Рисунок 4
Реакция подвижного шарнира направлена перпендикулярно опорной поверхности, т. к. не допускается только перемещение поперек опорной поверхности.
Неподвижный шарнир
Точка крепления перемещаться не может. Стержень может свободно поворачиваться вокруг оси шарнира. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира, но неизвестна по направлению. Ее принято изображать в виде двух составляющих: горизонтальной и вертикальной ( Rx ; R у) (рис. 5).
Рисунок 5
Защемление или «заделка»
Любые перемещения точки крепления невозможны.
Под действием внешних сил в опоре возникают реактивная сила и реактивный момент М R , препятствующий повороту (рис. 6).
Рисунок 6
Реактивную силу принято представлять в виде двух составляющих вдоль осей координат
Примеры решения задач
Пример 1. Груз подвешен на стержнях и канатах и находится в равновесии (рис. 7). Изобразить систему сил, действующих на шарнир А.
Рисунок 7
Решение
1. Реакции стержней направлены вдоль стержней, реакции гибких связей направлены вдоль нитей в сторону натяжения (рис. 7а).
2. Для определения точного направления усилий в стержнях мысленно убираем последовательно стержни 1 и 2. Анализируем возможные перемещения точки А.
Неподвижный блок с действующими на него силами не рассматриваем.
3. Убираем стержень 1, точка А поднимается и отходит от стены, следовательно, реакция стержня 1 направлена к стене.
4. Убираем стержень 2, точка А поднимается и приближается к стене, следовательно, реакция стержня 2 направлена от стены вниз.
5. Канат тянет вправо.
6. Освобождаемся от связей (рис. 7б).
Пример 2. Шар подвешен на нити и опирается на стену (рис. 8а). Определить реакции нити и гладкой опоры (стенки).
Рисунок 8
Решение
1. Реакция нити - вдоль нити к точке В вверх (рис. 8б).
2. Реакция гладкой опоры (стенки) - по нормали от поверхности опоры.
Контрольные вопросы и задания
4. Укажите возможное направление реакций в опорах (рис. 9).
Рисунок 9
